Graph domain에서 Spectral domain으로, 아니면 그 반대로
graph Lebesgue decomposition theorem
\[F = F_{ac} + F_{sc} + F_{pp}\]
- \(F\)가 미분 가능하다는 말은 \(p\)1이 존재하다는 말이 된다. 즉, \(F = p\)
- \(y\)가 weakly stationary하다 \(\to\) \(p\)가 존재한다. \(\to\) \(F\)가 미분가능하다. \(\to\) \(F_{sc} = 0\)이다.
- Wold representation theorem2에 따라 임의의 시계열 \(y_t\)는 deterministic term(predictable term)3과 stocastic term4으로 나눌 수 있고, 이 때 stocastic term은 무한 차수의 MA로 나타낼 수 있다.
- 연구에서 \(V^H y_t = V^H \text{결정적 성분} + V^H \text{확률적 성분}\)
- 확률적 성분을 무한차수의 MA는 GFT하면 \(p_{ac}\)가 나온다.5
\[p = p_{ac} + p_{pp}\]
\(F\)가 증가함수 일때, \(F_{sc}\)는 라돈니코딤 도함수(미분)에 의해 \(F_{sc}\)이 없어진다.6
Appendix 1 르벡분해정리
- Thm: 분포함수의 정의7를 만족하는 임의의 \(F\)는 항상 아래와 같이 분해가능하다.
\[F = F_{ac}+F_{pp}+F_{sing}\]
여기에서 \(F_{ac}\)는 르벡메져에 대하여 절대연속이고 \(F_{pp}\)는 카운팅메져에 대하여 절대연속이다. 따라서 \(F_{ac}\)와 \(F_{pp}\)는 각각 르벡메져와 카운팅메져에 대응하는 밀도함수가 존재한다. \(F_{sing}\)는 칸토어분포와 같이 밀도함수가 존재하지 않는 경우이다.
여기에서 \(ac\)는 absolutely continuous 의 약자이고, \(pp\) pure point 의 약자이며 \(sing\)은 singular continuous 약자이다.
- 의미: \(F_{ac}\)는 우리가 일반적으로 생각하는 singular하지 않은 연속함수를 상상하면 된다.8 \(F_{pp}\)는 완벽한 불연속이며 오직 jump를 통해서만 증가하는 함수라 생각하면 된다. 즉 우리가 익숙한 이산형확률변수의 cdf를 상상하면 된다.
- 이론: \(F_{pp}\)는 기껏해야 countable한 불연속점을 가진다. (jump 하는 point는 countable이라는 의미, 결국 이산형확률변수의 support는 countable이라는 의미)
- 이론: 분포함수 정의를 만족하는 임의의 \(F\)가 아래와 같다면
\[F=F_{ac}\]
\(F\)에 대응하는 연속형 확률변수 \(X\)가 존재하고 그에 대응하는 pdf가 존재한다.
- 이론: 분포함수 정의를 만족하는 임의의 \(F\)가 아래와 같다면
\[F=F_{pp}\]
\(F\)에 대응하는 이산형 확률변수 \(X\)가 존재하고 그에 대응하는 (일반화된) pdf 혹은 pmf가 존재한다.
- 이론: 분포함수 정의를 만족하는 임의의 \(F\)가 아래와 같다면
\[F=F_{ac}+F_{pp}\]
\(F\)에 대응하는 혼합형 확률변수 \(X\)가 존재하고 그에 대응하는 (일반화된) pdf가 존재한다.
Appendix 2 라돈니코딤 정리
- 이론: 분포함수 \(F_X:\mathbb{R} \to [0,1]\)가 (르벡메져에 대하여) 절대연속이라면 아래를 만족하는 함수 \(f_X:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^+\)가 존재한다.
\[F_X = \int_{(-\infty,x]}f_Xd\lambda\]
여기에서 함수 \(f_X\)를 \(F_X\)의 밀도함수 (density function) 이라고 한다. 일반적으로 밀도함수 \(f_X\)는 유일하지 않지만, 르벡측도로 재었을때 0인 집합을 제외한 부분에서는 유일하게 결정된다. (요약: 분포함수 \(F_X\)가 절대연속이면 밀도함수 \(f_X\)가 존재하고, 거의 유일함)
위에서 “르벡측도로 재었을때 0인 집합을 제외한 부분에서는 유일하게 결정된다”라는 부분은 “르벡메져 \(\lambda\)에 대하여 거의 유일하다” 라고 이해해도 무방. 엄밀하게 쓰면 “분포함수 \(F_X\)가 있다면 밀도함수의 정의하는 만족하는 함수가 반드시 하나는 존재한다. 만약에 두 함수 \(f\)와 \(g\)가 모두 밀도함수의 정의를 만족한다면 ‘\(f=g\) a.e. with respect to \(\lambda\)’ 가 성립한다.” 와 같은 식으로 쓸 수 있음.
위에서 \(f\)의 공역이 \(\mathbb{R}^+\)인 이유는 \(F_X\)가 증가함수라서..
- Thm (라돈니코딤 정리)[@durrett2019probability, Thm A.4.8.]: 가측공간 \((S,{\cal S})\)를 고려하자. 그리고 \(\mu\)와 \(\lambda\)가 \((S,{\cal S})\)에서의 \(\sigma\)-finite measure 라고 하자. 만약에 \(\mu << \lambda\) 이라면 아래를 만족하는 가측함수 \(f:(S,{\cal S}) \to (\mathbb{R}^+,{\cal R}^+)\)가 거의 유일하게 (w.r.t. \(\lambda\)) 존재한다.
\[\forall B \in {\cal S}:~ \mu(B) = \int_B f d\lambda.\]
여기에서 \(f\)를 Radon-Nikodym derivative of \(\mu\) w.r.t. \(\lambda\) 라고 하며, 이러한 의미에서 \(f=\frac{d\mu}{d\lambda}\)와 같이 표현하기도 한다.