[Linear Algebra] Lecture 2

학습 목표

• Elimination(Success or Failure)
• Back substitution
• Elimination matrices
• matrix multiplication

- 3 equations and 3 unknowns

\(x + 2y + z = 2\)

\(3x + 8y + z = 12\)

\(4y + z = 2\)

column picture \(\to\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 12 \\ 2\end{bmatrix}\)

- elimination steps(success)

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1\end{bmatrix}\), \(b=\begin{bmatrix} 2 \\ 12 \\ 2\end{bmatrix}\)

1행 1열의 1이 1st pivot, 2행 1열을 0으로 만들어보자.(1행에 3배(multiplier = 3)해서 2행이랑 계산)

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 1\end{bmatrix}\), \(b=\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix}\)

2행 2열의 2이 2nd pivot, 3행 2열을 0으로 만들어보자.(2행에 2배(multiplier = 2)해서 3행이랑 계산)

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix}\), \(b=\begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -10\end{bmatrix}\)

3행 3열의 5가 3rd pivot

Tip

Pivot can’t be zero.

• 계산하다가 0이 나오면 다른 row와 row excange 진행하면서 안 나오게 하기
• unknown 수 만큼 pivot 존재함!

위는 success case, 마지막 equation이 \(4y-4z=2\)이라면 failure case

- back substitution(위로부터 구함)

\(x + 2y + z = 2\)

\(2y - 2z = 6\)

\(5z = -10\)

3 equations

\(ux = c\)

\(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ -10 \end{bmatrix}\)

\(\therefore z = 2, y = 1, z = -2\)

- Elimination Matrices

• Matrices subtract \(3 \times\) row 1 from row 2

step 1

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 4 & 1\end{bmatrix}\)

step 2

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\)

\(E_{32}(E_{21} A) = u\)

이것을 어떻게 간단하게 표현하지?

순서를 바꾸면 matrix 특징상 아예 다른 값이 산출될 수도 있으니 그건 아님

\((E_{32}E_{21}) A = u\)

이렇게 Elimination matrix만 빼낸다면?

- Permutation

• Excange rows 1 and 2

\(\begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & d \\ a & b\end{bmatrix}\)

• Excange columns 1 and 2

\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b & a \\ d & c\end{bmatrix}\)

Note

• To do column operations, the matrix multiplies on the right.
• To do row operations, it multiplies on the left.

- Inverse

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)

\(E^{-1} E = I\)