[Linear Algebra] Lecture 4

학습 목표

Inverse of \(AB, A^{T}\)

Product of elimination matrices

\(A = Lu\) (no row exchange)

• \(A^T\)의 Inverse는 무엇일까?

\((A^{-1})^T A^T = I\)

\((A^{-1})^T\) \(\to\) This is inverse of \(A^T\).

• 2X2라면

1

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)

\(E_{21} A = u\)

- 위에서 아래로 표현하는 방법(역취하는 거)을 \(E_{21}\)을 canceling한다고 표현함

2

\(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)

\(A = Lu\)

\(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 8 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

• 1 \(E_{32}E_{31} E_{21} A = u\) (no row exchanges)

• 2 \(A = E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1} u = Lu\)

• 왜 1 보다 2 가 좋을까?

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -5 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2& 1 & 0 \\ 10 & -5 & 1\end{bmatrix}\)

\(E_{31} E_{21} =\) left of \(A\)

• reverses (reverse order)

\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1\end{bmatrix}\)

\(E_{21}^{-1}E_{31}^{-1} =\) left of \(u\)

\(A = Lu\)

- 3행 1열의 10이 없어졌다!

If no row exchanges, multiples go directly into L.

• How many operations on \(n \times n\) matrix A?

  • operations = multiples + shorttrack

• number of operation = count

  • \(n^2 + (n-1)^2 \dots + 3^2 +2^2 + 1^2\)

\(\to\) Permutation 행렬이 최대로 가질 수 있는 개수 계산하는 법 n팩토리얼

• Permutation¹

¹ A permutation matrix exchanges two rows of a matrix

단위행렬에서 행끼리 교환한 것 목록

ex) \(3 \times 3\)

• 3 * 2 * 1 = 6

\(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(P_{12} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(P_{13} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

\(P_{23} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

\(P_{13}P_{23} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

\(P_{12}P_{23} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

ex) \(4 \times 4\)

• 4 * 3 * 2 * 1 = 24

https://ocw.mit.edu/courses/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/c5961452fbb31f8a0b34ecd0ffc5cdc4_MIT18_06SCF11_Ses1.4sum.pdf

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역행렬이 필요한 이유를 조건을 따져가며 이해해보기

matrix \(A(n \times n)\)이 있을때, 역행렬이 존재한다면

1. \(A\)가 invertible 하다 = \(A\)가 가역행렬이다.²
2. \(A\)의 열, 행은 n이다.
3. \(A\)의 열columns와 행rows가 모두 선형적으로 독립이다 linearly independent하다.
4. \(A\)의 rank가 full rank이고, rank(A) = n이다.
5. \(A\)의 Pivot은 0이 없다.
6. \(AX=0\)의 해가 유일한 하나가 있다.
7. \(AX=B\)의 해는 \(A^{-1}B\)로 유일한 하나가 있다.
8. \(A\)의 determinant가 0이 아니다(det(A) !=0)
9. Non-singular

² 그렇지 않으면 특이행렬singular matrix