학습 목표
- Bases of New Vector Spaces
- Rank one matrices
- small world graphs
- Bases of all vector spaces
\(3 \times 3\) 행렬의 부분 공간 1. \(3 \times 3\) symmetric matrix 대칭 행렬 2. \(3 \times 3\) upper triangular matrix 상삼각행렬 3. \(3 \times 3\) diagonal matrix 대각 행렬
- basis of \(M\)
$M = $ all 3 bt 3 matrices, dim(M) = 9
- \(\to\) 이를 하나의 벡터로 간주하고 표현할 수 있는 공간을 알고자 한다면, 원소의 개수가 차원이 됌
Symmetric \(3 \times 3\), dim(S) = 6(diagonal = 3, 3 entries)
matrices upper triangular \(3 \times 3\) dim(U)=6
Basis for \(M=\) all \(3 \times 3\)’s
\(\to\) standard basis1 for \(M\), 9개
1 1과 0으로만 구성된 basis
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
- symmetric matrix as a subspace of \(M\)
\(S\), symmetrix matrix의 basis에 포함되는 \(M\)의 기저 행렬들, 3개
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
symmetrix matrix의 basis인 나머지 3개
\(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)
즉, symmetric matrix의 dimension은 6
-upper triangular matrix as a subspace of \(M\)
\(U\), Upper truangular matrix, 상삼각행렬의 basis, 기저는 6개
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
즉, 차원은 6
- diagonal matrix as a subspace of \(M\)
\(S \cap U\) = symmetric and upper triangular
= diagonal \(3 \times 3\)’s
= dim(\(A \cap U\)) = 3
- \(\cap\) = innerset
\(S \cap U = D \to\) \(\begin{bmatrix} 1 & 1& 1 \\1 & 1& 1 \\1 & 1& 1\end{bmatrix}\) $$ \(\begin{bmatrix}1 & 1& 1 \\ 0 & 1& 1 \\ 0 & 0& 1 \\\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix} 1 & 0&0 \\0 & 1& 0 \\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}\)
즉, 대각행렬의 차원이 3이다.
\(S \cup U\) \(S,U\) have different direction, respectively.
- \(\cup\) = union
- 9차원인 symmetric과 6차원의 upper triangular는 합집합을 못하는데, 각각 다른 방향으로 존재하기 때문이다.
- \(\therefore\) 부분공간이 아니다.
- 해결책!
\(S + U\) = any element of \(S\) + any element of \(U\) = all \(3 \times 3\)’s
- 모든 \(3 \times 3\) 크기의 모든 행렬 \(M\) 만들기 가능해졌다.
dim(\(S+U\)) = 9
dim S = 6 + dim \(U\) = 6
sum of dimension = 6 + 6 = 3 + 9 (\(\cap + \cup\))
-> 따라서 부분공간으로 정의하는 차원이나 기저 등의 연산이 자연스럽게 산출된다는 증거로 볼 수 있다.
Example
미분 방정식을 예로 들자면,
\(\frac{d^2 y}{d x^2} + y = 0\)
이 basis는
- \(y= \cos(x)\)
- \(y= \sin(x)\)
- \(y= e^{ix}\)
- \(\cdots\)
\(\frac{d^2 y}{d x^2} + y = y^{''} + y = 0\)
- \(-\cos(x)+\cos(x)=0\)
- \(-\sin(x)+\sin(x)=0\)
- \(e^{ix} + e^{ix} = 0\)
- \(\cdots\)
이렇게 보니, 풀어쓴 해는 basis의 영공간nullspace를 나타낸 것으로도 볼 수 있다.
complete solution, 즉 완전해를 정의하자면?
- \(y = c_1 \cos x + c_2\sin x\) (each element is basis)2
- 위와 같은 벡터공간vector space 로 정의 가능 미분 방정식의 basis를 이용하여 선형결합하여 표현하였기 때문이고,
- 여기서 \(\cos\), \(\sin\)은 basis가 되겠다.
2 all combination 표현할 수 있으면 basis로 보기로 했잖아
즉, 미분방정식은 \(Ax=0\)의 solution으로 해석 가능하고, 선형 조합한 결과(3)는 영공간nullspace를 정의하기 위한 special solution으로 볼 수 있다.
- special solution = 2
- dimension = 2
- 미분 방정식이 2차라서 차원은 사실 2일 수밖에 없음.
dim(solution space) = 2
- Rank one matrices
Suppose rank = 1, this is the exmaple.
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}\), 2 by 3 matrix
dim \(C(A)\) = rank = dim \(C(A^T)\) = 1
basis of \(C(A)\) = \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2\end{bmatrix}\)
basis of \(C(A)^T\) = \(\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}\)
row 2가 row 1의 두 배가 되어 서로 종속인 상태가 되기 때문에 rank 1인 예시로 가능하다. col 2도 col 1에 4배를 한 것과 같고, col 3도 col 1에 5배를 한 것과 같아 종속 상태에 있다.
- 따라서 rank 1 인 행렬이 표현할 수 있는 공간은 1차원이고 직선이다.
\(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\) \(\times\) \(\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}\) = \(A\)
\(C(A) \times C(A)^T = A\)
\(\therefore\) Rank 1 matrix: \(A = uv^T\)
column vector \(\times\) row vector 를 곱하면 꼭 rank 1 행렬 A 가 만들어진다.
-> rank 1 의 조합으로 행렬 표현 가능
- Subspaces for rank 1 matrices
\(M =\) all \(5 \times 14\) matrices
- rank 4인 행렬 A는 \(5 \times 14\) \(M\) 행렬의 부분공간이 아니다.
- 조건 필요:
- closed summation operater between scalar multiplication and matrices
- including zero vector
- 행렬과 스칼라곱 간 덧셈 연산에 갇혀 있어야 하고, 영벡터를 포함해야 한다.
- closed summation operater between scalar multiplication and matrices
- 조건 필요:
\(\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}\) + \(\begin{bmatrix} 4 & 4 & 2 \\ 2 & 1 & 10 \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 5 & 8 & 7 \\ 4 & 9 & 20 \end{bmatrix}\)
rank 1 + rank 2 = rank 2
- rank가 달라졌지.
- in \(R^4\) cases
\(v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4\end{bmatrix}\)
- \(R^4\) 공간의 모든 벡터는 위와 같이 4개의 원소를 가지는 벡터로 표현가능
\(R^4\)의 부분공간 \(S\) = all \(v\) in \(R^4\) with \(v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 0\)을 정의해보면 이렇다.
- 이 말은 \(v\)가 어떤 행렬 A의 null space라는 것이다.
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}\)
\(Av=0\)
rank = \(r\) = 1
row space = \(r\) = 1
column space = \(r\) = 1
null space = \(n - r\) = 4 - 1 = 3
left null space = \(m - r\) = 1 - 1 = 0
basis of row space = \(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\end{bmatrix}\)
special soultions of null space
\(\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}\)
null space를 만드는 v값(\(Av=0\))
basis of column spaces = \(\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}\) = \(R^1\)
- \(1 \times 1\), 즉 \(R^1\)이라 어떤 상수를 곱해도 상수의 결과로 나옴.
\(Ax = 0\), \(\begin{bmatrix} 1\\1\\1\\1 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x \end{bmatrix}\) = \(\begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}\)
- 이를 만족하는 값 x는 없다. 따라서 left null space는 0 밖에 존재하지 않는다(0차원의 공간이다.)
- basis of left null space = \(\begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix}\), empty
row space(1) + left null space(0) \(\times\) column space(1) + null space(3) = 1 \(\times\) 4 \(\to\) A 행렬의 차원이 됌