학습목표
- Determinant \(det\) \(A = |A|\)
- properties \(1,2,3,4\)-\(10\pm\) signs
\(det\) \(\begin{vmatrix} a& b \\ c & d\end{vmatrix} = ad-bc\)
determinent의 특징
1 \(det\) \(I=1\)
\(\begin{vmatrix} 1& 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1\)
- 단위행렬의 determinant는 1
2 Exchange rows: reverse sighn of \(det\)
\(det\) \(p = \begin{cases} 1 & \text{even} \\ -1 & \text{odd} \end{cases}\)
- Purmutation의 p
\(\begin{vmatrix} 0& 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -1\)
- 행을 바꾸면 determinant의 부호가 바뀌는데 짝수 바뀌면 1, 홀수 바뀌면 -1
3a \(\begin{vmatrix} ta& tb \\ c & d\end{vmatrix} = t \begin{vmatrix} a& b \\ c & d\end{vmatrix}\)
- 행렬 중 하나의 row에 곱해진 상수는 밖으로 나올 수 있음
3b \(\begin{vmatrix} a + a^{'} & b + b^{'} \\ c & d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a^{'} & b^{'} \\ c & d\end{vmatrix}\)
- 행렬 중 하나의 row는 분리하여 정리 가능
Linear each row
단, \(det\) \((A+B) \ne\) \(det\) \(A\) + \(det\) \(B\)
4 \(2\) equal rows \(\to\) \(det\) \(=0\)
Exchange the rows \(\to\) same matrix
\(A = \begin{vmatrix}a & b \\ a&b \end{vmatrix}\) 일 때, \(det\) \(A = ab-ab = 0\)
- 행렬에 두 개의 같은 row가 존재하면 determinant는 0
5 subtract \(l\) \(\times\) row \(i\) from row \(k\)
\(det\) dosen’t change
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c -la & d-lb \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & b \\ -la & -lb \end{vmatrix}\)
or \(= \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} - l \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix}\) by 3
소거과정 거쳐도 \(det\)는 변하지 않음
- 행렬이 gauss 소거법으로 정리해도 determinant는 변하지 않음
6 Row of zeros \(\to\) \(det\) \(A = 0\)
\(5 \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ c & d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 5 \times 0 & 5 \times 0 \\ c & d\end{vmatrix}\)
- 모든 원소가 0인 row가 하나라도 존재하면 determinant는 0
7 \(det\) \(U = \begin{vmatrix} d_1 & * & * & * \\ 0 & d_2 & * & * \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & d_N\end{vmatrix} = (d_1)(d_2)\cdots (d_N)\)
product of pivots
- 상삼각행려릐 \(det\)는 대각원소들의 곱으로 구할 수 있음
\(det\) \(D= d_n \cdots d_2d_1\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{vmatrix} = d_n \cdots d_2d_1\)
- 삼각행렬의 determinant는 대각 원소들의 곱으로 구할 수 있으며, 이 대각 원소들이 0이 아니어야 가능
8 \(det\) \(A=0\)
When \(A\) is singular \(\to\) rows of zeros
- 특이행렬이면 determinant는 0
\(det\) \(A \ne 0\) \(\to\) \(U\)
When \(A\) is invertible \(\to\) \(d_1,d_2,,\cdots,d_n\)
\(\begin{vmatrix}a & b \\ c&d \end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} a & b \\ 0 & d - \frac{c}{d} b\end{vmatrix} = ad-bc\)
- 역행렬이 존재하면 determinant는 0이 아님
9 \(det\) \(AB =\) ( \(det\) \(A\) ) (\(det\) \(B\) )
\(det\) \(A^{-1} = \frac{1}{det A}\)
\(A^{-1} A = I\)
A 의 역행렬의 determinant는 A의 determinant의 역수
(\(det\) \(A^{-1}\) ) ( \(det\) \(A\) ) = 1
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix}\)
\(A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}\end{bmatrix}\)
\(det\) \(A = 6\)
\(det\) \(A^{-1} = \frac{1}{6}\)
\(det\) \(A^2\) = (\(det\) \(A)^2\)
\(det\) \(2A\) = \(2^n\) \(det\) \(A\)
10 \(det\) \(A^T\) = \(det\) \(A\)
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c \\\ b & d \end{vmatrix}\)
Prove 10 using 1~9
\(|A^T| = |A|\)
\(|U^T L^T| = |LU|\)
\(|U^T| |L^T| = |L| |U|\)