[Linear Algebra] Lecture 19

학습목표

• Formular for \(det\) \(A\) (\(n!\) terms)
• cofactor formular
• tridiagonal matrices

- Determinant Formulars

• Determinant split 행렬식을 나누는 법

- 지난 시간에 한 내용

1. \(det\) \(I = 1\)
   • 단위행렬의 determinant가 1이다.
2. sign reverse with exchange
   • 행 교환row exchange를 했을떄 부호가 바뀐다.
3. \(det\) is linear in each row seperately
   • 하나의 row에 곱해진 scale상수를 밖으로 뺼 수 있다.
   • 하나의 row에 나머지 row는 유지한채 분리해서 정리할 수 있다.

3에 따라, row 1을 유지한채 분리하면 아래와 같이 된다.

\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & d \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & b \\ c & d \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{vmatrix}\)

여기서, \(\begin{vmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{vmatrix}\), \(\begin{vmatrix} 0 & b \\ 0 & d \end{vmatrix}\)는 모든 원소가 0인 행이 존재하는, pivot이 0인 특이행랼singular matrix가 된다.

또한, \(\begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix}\)는 대각선으로 곱하면 \(det\)가 \(ad\)로 되고,

\(\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix}\)는 대각 행렬이 뒤집힌 형태이니, row exchange하여 부호를 -1을 곱해준 후 3에 따라 정리하여 대각선 곱하면 \(-bc\)가 나온다.

\(\begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{vmatrix} = ad + -1 \times \begin{vmatrix} c & 0 \\ 0 & b \end{vmatrix} = ad + -1 \times bc \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = ad-bc\)

이는 \(2\times2\) matrix(분리하면 4개 행렬 나옴)를 넘어 \(3\times3\)(분리하면 9개 행렬 나옴), \(4\times4\)(분리하면 16개 행렬 나옴) matrix까지 확장 가능하다.

\(3\times3\) matrix에서 분리한 후 특이행렬이 아닌 행렬들을 모아보면,

\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\)

\(=\begin{vmatrix} a_{11} &0&0 \\0 & a_{22} & 0 \\0&0 & a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & 0&0 \\0&0 & a_{23} \\0 & a_{32} & 0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0& a_{12} & 0 \\a_{21} & 0&0 \\0&0 & a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0& a_{12} & 0 \\ 0&0 & a_{23} \\a_{31} & 0 & 0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0&0& a_{13} \\a_{21} & 0 &0\\0 & a_{32}&0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0&0 & a_{13} \\0& a_{22} & 0 \\a_{31} & 0&0\end{vmatrix}\)

\(=a_{11}a_{22}a_{33}- a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\)

-> 여기서 특징, 한 row에서 자기자신만 빼고 남지 않음(치환 행렬permutation matrix 형태)

-> 또 다른 특징, \(3\times3\) matrix에만 적용 가능, 다른 행렬은 식이 무한히 길어질 가능성이 있고, 서로 다른 형태의 식이 나오게 될 수 있다.

• 그래서 모든 행렬에 적용할 수 있는 일반적인 방법이 필요하다.(아래)

- Big Formular

• 0이 아닌 term의 개수를 구하는 방법 = 팩토리얼
  • \(2\times 2 = 2! = 2 \times 1 = 2\)
  • \(3\times 3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
  • \(4\times 4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
  • 이런 식으로!

\(det\) \(A\) \(= \sum_{n! \text{ terms }} \pm a_{1 \alpha} a_{2 \beta} a_{3 \gamma} \cdots a_{n \omega}\)

• 절반은 양이고, 절반은 음이다.

\((\alpha, \beta, \gamma, \cdots, \omega) = \text{ Perm of }(1,2, \cdots, n)\)

• 알파,베타,감마,오메가는 1부터 n까지의 치환 행렬의 열인덱스를 의미한다.
• row는 그대로 col만 바뀌어서

- Example

\(\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 1 \\\end{vmatrix}\)

• 행렬식이 분리되는 식의 개수 = \(4^4=256\)
• 특이행렬 제외한 식의 개수 = \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

특이행렬을 제외한 식의 개수를 보면 24이지만, 기존 행렬에서 0인게 이미 존재함으로 우리는 determinant를 아래와 같이 구할 수 있다.

• \(a_{14}a_{23}a_{32}a_{41} = 1\)
• \(a_{13}a_{22}a_{31}a_{44} = -1\)

- Cofactor 여인수

Big formular를 분할하는 방법

\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\)

\(=\begin{vmatrix} a_{11} &0&0 \\0 & a_{22} & 0 \\0&0 & a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} a_{11} & 0&0 \\0&0 & a_{23} \\0 & a_{32} & 0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0& a_{12} & 0 \\a_{21} & 0&0 \\0&0 & a_{33}\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0& a_{12} & 0 \\ 0&0 & a_{23} \\a_{31} & 0 & 0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0&0& a_{13} \\a_{21} & 0 &0\\0 & a_{32}&0\end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} 0&0 & a_{13} \\0& a_{22} & 0 \\a_{31} & 0&0\end{vmatrix}\)

\(=a_{11}a_{22}a_{33}- a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}\)

\(= a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) + a_{12}(a_{23}a_{31} - a_{21}a_{33} ) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})\)

-> 여기 안에 묶인 부분이 바로 여인수cofactor

• \(\text{cofactor of } a_{ij} = C_{ij}\)

• \(\pm\) \(det\) \(\begin{cases} n-1 \text{ matrix} \\ \text{with row} i, \text{ col } j \text{ removed} \end{cases}\)

• \(i+j =\text{ even}(+)\)

• \(i+j =\text{ odd}(-)\)

• \(\text{cofactor formular (about row } 1\)

• \(det\) \(A = a_{11} C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots + a_{1n} C_{1n}\)

• \(\begin{vmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & \cdots & C_{2n} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} & C_{34} & \cdots & C_{3n} \\ C_{41} & C_{42} & C_{43} & C_{44} & \cdots & C_{4n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & C_{n3} & C_{n4} & \cdots & C_{nn} \end{vmatrix}\)

• \(\to \begin{vmatrix} + &- & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + &- & + & - & + & \cdots \\ - & + & - & + & - & \cdots \\ + &- & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \end{vmatrix}\)

• sign of cofavtors in \(n \times n\) matrices

cofactor 공식을 이용하여 \(2 \times 2\) matrix의 determinant를 구하면?

• \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)
• \(a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} = ad+b(-c)\)
  • \(C_{11}\)은 1+1 =짝수니까 + 나오고
  • \(C_{12}\)는 1+2홀수니까 - 나옴

\(A = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & 1 \\0 & 1 & 1 & 0 \\1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 1 \\\end{vmatrix}\)

• \(det\) \(A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} +a_{13}C_{13}+a_{14}C_{14} = a_{13}C_{13}+a_{14}C_{14}\)
  • 1행의 1,2열은 0이니까
• \(1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}\)
• \((a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}) - (a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13} = a_{12}C_{12} + a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\)
  • 첫번쨰 식은 1행의 1,3열이 0이고,
  • 두번째 식은 1행의 1열이 0이니까
• \(1 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = -1 - (0 - 1) = 0\)
  • \(C_{ij}\) 에서 i+j가 짝수면 양수, 홀수면 음수 1이 곱해짐!