[Linear Algebra] Lecture 20

학습목표

1. Formula for \(A^{-1}\)
2. Crawers Rule for \(x = A^{-1}b\)
3. \(|Det\) \(A| =\) volumne of box

\(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}\)

• 우항의 1행 1열 \(d\) 는 좌항의 1행 1열 \(a\)의 cofactor 여인수
• 우항의 2행 2열 \(a\) 는 좌항의 2행 2열 \(d\)의 cofactor 여인수
• counter diagonal 원소들(전치로 인해 바뀐 위치)
  • 우항의 2행 1열 \(-c\) 는 좌항의 1행 2열 \(b\)의 cofactor 여인수
  • 우항의 1행 2열 \(-b\) 는 좌항의 2행 1열 \(c\)의 cofactor 여인수

\(A^{-1} = \frac{1}{\text{det } A} C^T\)

\(C^T\) : 여인수 행렬 cofactor matrix의 전환transpose

• \(3 \times 3\)인 경우

\(\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} = \frac{1}{\text{det } A} \begin{bmatrix} + \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} b & c \\ h & i \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} b & c \\ e & f \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} a & c \\ g & i \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} \\ + \begin{vmatrix} s & e \\ g & h \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} a & b \\ g & h \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\)

\(det\) \(A = aei - afh - bdi + bfg + cdh - ceg\)

• 역행렬 check

\(AC^T = (det\) \(A)I\)

\(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)

\(C = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}\)

\(C^T = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{21} & c_{31} \\ c_{12} & c_{22} & c_{32} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_{11} & c_{21} & c_{31} \\ c_{12} & c_{22} & c_{32} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{det } A & 0 & \\ 0 & \text{det } A & 0 \\ 0 & 0 & \text{det } A \end{bmatrix}\)

\(A^{-1} = \frac{1}{\text{det } A} C^T\)의 양변에 \((det\) \(A)A\)를 곱해준 것과 같음

• \(C^T\)의 1열은 \(A\)의 1행의 여인수cofactor
• cofactor fomula
  • \(det\) \(A = a_{11}C_{11} + a_{12} C_{12} + \cdots + a_{1n} C_{1n}\)
  • \(det\) \(A = a_{21}C_{21} + a_{22} C_{22} + \cdots + a_{2n} C_{2n}\)
  • \(\cdots\)
  • \(det\) \(A = a_{n1}C_{n1} + a_{n2} C_{n2} + \cdots + a_{nn} C_{nn}\)
• 특징
  • 행은 1에서 n까지 어떤 인덱스를 통해서라도 \(det\) \(A\)를 나타낼 수 있다.
  • \(det\) \(A\) 구할 떄 컬럼의 인덱스가 같음
    • 컬럼의 인덱스가 다르다면 내적이 \(0\)이 되어 사라졌기 때문
    • 서로 다른 인덱스를 가진 행과 열을 곱하는 것은 똑같은 행을 두 개 이상 가진 특이행렬singular matrix의 deeterminant를 구하는 것과 같기 때문

\(\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \text{det } A & 0 \\ 0 & \text{det } A \end{bmatrix}\)

\((\text{det } A) I_{11} = ad + b (-c) = \text{det } A\)

\((\text{det } A) I_{12} = a(-b) +ba = 0\)

\((\text{det } A) I_{21} = cd+d(-c) = 0\)

\((\text{det } A) I_{22} = c(-b)+da = \text{det } A\)

\((\text{det } A) I_{12} = \begin{vmatrix} a & b \\ a & b \end{vmatrix} = ab-ba\)

- 크래머 공식 Cramer’s Rule

선형시스템 방정식 linear system equation \(Ax = b\)이 있을때, \(A\)가 역행렬이 있다고 정의하여 아래와 같이 계산할 수 있음.

\(x = A^{-1} b = \frac{1}{\text{det } A} C^T b\)

\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}\)

\(C^T = \begin{bmatrix}c_{11} & c_{21} & c_{31} & \cdots & c_{n1} \\ c_{12} & c_{22} & c_{32} & \cdots & c_{n2} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & \cdots & c_{n3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{1n} & c_{2n} & c_{3n} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix}\)

\(b = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \frac{1}{\text{det } A} \begin{bmatrix}c_{11} & c_{21} & c_{31} & \cdots & c_{n1} \\ c_{12} & c_{22} & c_{32} & \cdots & c_{n2} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} & \cdots & c_{n3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{1n} & c_{2n} & c_{3n} & \cdots & c_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}\)

\(x_1 = \frac{c_{11}b_1+c_{21}b_2+\cdots+c_{n1}b_n}{\text{det } A} = \frac{\text{det } B_1}{\text{det } A}\)

\(x_2 = \frac{c_{12}b_1+c_{22}b_2+\cdots+c_{n2}b_n}{\text{det } A} = \frac{\text{det } B_2}{\text{det } A}\)

\(\cdots\)

\(3 \times 3\) 행렬\(A\)이 있을 때, \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)

\(x_1 = \frac{1}{\text{det } A} \begin{vmatrix} b_1 & a_{12} & a_{13} \\ b_2 & a_{22} & a_{23} \\ b_3 & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = \frac{c_{11}b_1+c_{21}b_2+\cdots+c_{n1}b_n}{\text{det } A} = \frac{\text{det } B_1}{\text{det } A}\)

\(x_2 = \frac{1}{\text{det } A} \begin{vmatrix} a_{11} & b_1 & a_{13} \\ a_{21} & b_2 & a_{23} \\ a_{31} & b_3 & a_{33}\end{vmatrix} = \frac{c_{12}b_1+c_{22}b_2+\cdots+c_{n2}b_n}{\text{det } A} = \frac{\text{det } B_2}{\text{det } A}\)

\(x_3 = \frac{1}{\text{det } A} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & b_1 \\ a_{21} &a_{22} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & b_3 \end{vmatrix} = \frac{c_{13}b_1+c_{23}b_2+\cdots+c_{n3}b_n}{\text{det } A} = \frac{\text{det } B_3}{\text{det } A}\)

• 크래머 공식 정의
  • 임의의 선형시스템 방정식 \(Ax =b\)의 해를 \(x\)를 행렬식으로 유도된 공식을 통해 푸는 방법
• 크래머 공식 단점
  • 행렬이 크면 그만큼 곱해야해서 비효율적이다. \(1100 \times 100\)행렬이면 100번 곱해야함
    • 그런 의미로 가우스 소거 방법이 더 효율적임

- 행렬식, 넓이

\(2 \times 2\) 행렬에서 \(det\) \(A\) = area of parallelogram

\(A = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}, v_1 = \begin{bmatrix} 4 & 1 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 2 & 3\end{bmatrix}\)

• 행렬을 벡터로 표현한 평행 사변형의 넓이는 행렬 \(A\)의 determinatn와 같다.
• 즉, \(det\) \(A = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = 12-2 = 10\)

- volume of box

행렬식으로 표현된 상자의 부피는 determinant로 계산 가능하다.

\(A\)의 부피 = \(det\) \(A = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}\)