학습 목표
- Eigen vales - Eigen vectors
- \(det\) \([A - \lambda I ] = 0\)
- Trace \(= \lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n\)
고유 벡터의 정의 : \(Ax\) parallel to \(x\)
\(Ax\) is some multiple \(\lambda x\), 따라서, \(Ax = \lambda x\)
어떤 정방행렬 \(A\)는 임의의 벡터 \(x\)에 곱해져서 \(x\)의 위치나 방향을 변환시키는 역할을 하는데,
이 벡터들 중 \(A\)에 곱해져서 위치나 방향이 바뀌어도 원래 자기 자신과 동일하거나 평행한 방향을 갖게 되는데,
이 벡터들이 고유벡터
그리고 고유 벡터의 크기는 다를 수 있으며, 곱해진 상수가 고유값
고유벡터의 방향성분만을 적용하려면 정규화해주어야 한다.
If \(A\) is singular, \(\lambda = 0\) is eigenvalue.
- 또, 영공간null space에 존재하기도 함
How do we find \(\lambda\) and \(x\)
What are \(x\)’s and \(\lambda\)’s for projection matrix?
Any \(x\) plane \(Px = x\), \(\lambda = 1\)
Any \(x\) \(\perp\) plane \(: Px = 0x, \lambda = 0\)
\(A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
\(x = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(\lambda = 1\), \(\lambda x = \lambda\), \(A = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(x = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}\), \(Ax = -x\), \(\lambda = -1\)
How to solve \(Ax = \lambda x\)
Renote: \((A - \lambda I) x = 0\)
- \(Ax = 0\)이라면 \(A\)의 null space를 찾는 것인데, 이 null space가 존재하기 위해 특이 행렬이 되어야 한다.
- 특이행렬이 아니라면 유일한 해는 오직 영벡터
\(det\) \((A - \lambda I ) = 0\)
- Find \(\lambda\) first
- 특이행렬의 determinant행렬식은 0이다.
\(det\) \((A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda\end{vmatrix}\)
\((3 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6 \lambda + 8\)
\(\therefore \lambda_1 = 4, \lambda_2 = 2\)
If \(Ax = \lambda x\) then \((A + 3 I) x = \lambda x 3 x = (\lambda + 3)x\)
If \(Ax = \lambda x\), \(B\) has eigen values \(\alpha\), \(Bx = \alpha x\)
\((A+B)x = (\lambda + \alpha)x \to\) That’s False
Example \(Q = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\) \(\to\) 90 degree rotation
trace \(= 0+0 =\lambda_1 + \lambda_2\)
- 고유값들의 합은 행렬의 대각원소의 합인 trace와 같다.
\(det\) \(= 1 = \lambda_1\lambda_2\)
\(det\) \((Q - \lambda I) = \begin{vmatrix} -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 + 1 = 0\)
\(\lambda_1 = i\), \(\lambda_2 = -i\)
- 삼각행렬인데 대각 원소가 같으면 고유벡터가 오직 하나만 존재한다.
\(A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\)
\(det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{vmatrix}\)
\(\lambda_1 = 3\), \(\lambda_2 = 3\)
\((A - \lambda I)x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 &0\end{bmatrix}\)
\(x_{\lambda_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\), \(x_{\lambda_2}\)