https://twlab.tistory.com/49
학습 목표
- Diagonalizing a matrix \(S^{-1} A S = \Lambda\)
- Powers of \(A\) equation \(e_{k+1} = A_{u_k}\)
- Diagonalization
행렬의 특성을 알 수 있는 대각화
\(A - \lambda I\) singular
\(Ax = \lambda x\)
행렬 $A#의 고유벡터와 고유값을 찾은 후 대각화를 수행하는 방법
\(S^{-1} A S = \Lambda\)
\(\to\) \(S\)가 역행렬을 가지고 있어야 하고, \(S\)가 특이행렬이 아니어야 하고, \(A\)의 고유벡터들이 \(n\)개의 독립인 벡터를 가져야 한다.
\(AS = A \begin{bmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda_1 x_1 & \lambda_2 x_2 & \cdots & \lambda_n x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{bmatrix} \begin{vmatrix} \lambda_a & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \lambda_n \end{vmatrix} = S \Lambda\)
\(\begin{vmatrix} \lambda_a & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \lambda_n \end{vmatrix}\) = diagonal eigenvalue matrix \(\Lambda\)
\(AS = S\Lambda\)
\(S^{-1} A S = \Lambda\)
\(\to\) 역행렬이 존재한다고 가정
\(A = S \Lambda S^{-1}\)
if \(Ax = \lambda x\)
\(A^2 x = \lambda A x = \lambda^2 x\)
\(A^2 = S \Lambda S^{-1} S \Lambda S^{-1} = S \Lambda^2 S^{-1}\)
\(\therefore A^k = S \Lambda^k S^{-1}\)
결국,
\(\Lambda = \begin{vmatrix} \lambda_1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \lambda \end{vmatrix}\)
\(\Lambda^2 = \begin{vmatrix} \lambda^2_1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \lambda_n^2 \end{vmatrix}\)
\(\cdots\)
\(\Lambda^n = \begin{vmatrix} \lambda^n_1 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & \lambda_n^n \end{vmatrix}\)
Therom
\(A^k \to 0\) as \(k \to \infty\)
\(\to\) \(k\)가 무한으로 갈수록, \(A\)는 0에 수럼함
if all \(|\lambda_i| < 1\)
\(A\) is sure to have \(n\) independent eigenvector \(\therefore\) and be diagonaligable
if all the \(\lambda\)’s are different \(\therefore\) no repeated \(\lambda\)’s
example) eig(rand(10,10))
Repeated eigenvalues may or may not have \(n\) independent eigenvector
\(A\)가 반복되는 고유값을 가지고 있다면, \(A\)는 \(n\)개의 독립인 고유벡터를 가질 수도 있고, 가지지 않을 수도 있다.
\(A \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}\)
\(det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 0 & 2 - \lambda \end{vmatrix} = (2-\lambda)^2\)
\(\lambda = 2,2,\)
\(A - 2I = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)
\(x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
하지만, 반복되는 고유값을 가져도 \(n\)개의 독립인 고유벡터를 가지는 경우인 단위행렬이 있다.
\(S^{-1} A S = \Lambda\)
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
행렬 \(A\)가 \(n\)개의 서로 다른 고유값을 가지는 경우, \(A\)는 반드시 서로 다른 고유 벡터를 가지고, \(A\)는 대각화가 가능.
\(A\)가 어떤 반복되는 고유값을 가지는 경우 독립인 고유벡터를 가질 수도 있는 경우 = 단위 행렬, 회전 행렬
\(A\)가 어떤 반복되는 고유값을 가지는 경우 독립인 고유벡터를 가질 수도 없는 경우 = 삼각행렬
Equation \(U_{k+1} = A_{u_k}\)
Start with given vector \(u_0\)
\(u_1 = A_{u_0}\)
\(u_2 = A^2 u_1\)
\(u_k = A^k u_0\)
To really solve : write
\(u_0 = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n = SC\)
\(A u_o = c_1 \lambda_1 x_1 + c_2 \lambda_2 x_2 + \cdots + c_n \lambda_n x_n\)
\(A^{100} u_o = c_1 \lambda_1^{100} x_1 + c_2 \lambda_2^{100} x_2 + \cdots + c_n \lambda_n^{100} x_n\)
$ = ^{100} SC$
Fibonacci example : \(0,1,2,3,5,8,13,21,34,\cdots\)
\(F_{100}=\)?
\(F_{k+2} = F_{k+1} + F_k\)
\(F_{k+1} = F_{k+1}\)
TRICK \(u_k = \begin{bmatrix} F_{k+1} \\ F_K \end{bmatrix}\)
\(u_{k+1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}u_k\)
\(= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F_{k+1} \\ F_k\end{bmatrix} = A_{u_k}\)
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} A - \lambda I \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2 - \lambda - 1 = 0\)
\(\to F_{k+1} - F_k - F_k = 0\)이라서
\(\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}\)
\(\lambda_1 = \frac{1}{2} (a+\sqrt{5}) \approx 1.618...\)
\(\lambda_2 = \frac{1}{2} (1-\sqrt{5}) \approx -0.618...\)
\(x_1 = \begin{bmatrix} \lambda_1 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(x_1 = \begin{bmatrix} \lambda_2 \\ 1 \end{bmatrix}\)
\(c_1 x_1 + c_2 x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\)
\(F_{100} \approx x_1 (\frac{1+ \sqrt{5}}{2})^{100} ...\)
\(A - \lambda I = \begin{bmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0\end{bmatrix}\)