6. 모분포 $N(0,25)$로부터 랜덤표본 $X_1,X_2, \dots, X_5$를 얻었다고 할 때,

(1) $P(\bar{X}_5<c) = 0.90$을 만족하는 상수 $c$ 값을 구하라.

(2) $P(\frac{1}{5}\sum^{5}_{i=1} X^{2}_{i} <c) = 0.90$을 만족하는 상수 $c$ 값을 구하라.

qnorm(0.9,0,sqrt(5))

qnorm(0.9,0,1)*sqrt(5)

qchisq(0.9,df=5)/5

위에가 아니라 아래가 답!,

$E(\frac{1}{5}\sum^{5}_{i=1}X^{2}_{i}) = \frac{1}{5} \times 5 = 1$
$var(\frac{1}{5}\sum^{5}_{i=1}X^{2}_{i}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{10}{5} = 2$
$\therefore \frac{1}{5} \sum^{5}_{i=1} \sim \chi^{2}_{1}$

qchisq(0.9,df=1)

7. $X_1,X_2, \dots, X_n$ 이 $N(\mu, \sigma^2)$로부터 구한 랜덤표본이라고 하자.

이때 $\sum^{n}_{i=1}(X_i - \bar{X}_n)^2/n$ 의 분산을 구하라.

12. $X_1, X_2, \dots, X_{10}$이 $N(\mu, 25)$ 으로부터 구한 랜덤표본이라고 하자.

이때 $P(4<\sum^{10}_{i=1} (X_i - \bar{X}_{10} )^2 /10 <14 )$를 계산하라.

pchisq(14*10/25,df=9) - pchisq(4*10/25,df=9)

13.$X_1,X_2 \dots, X_{16}$이 $N(5,25)$ 으로부터 구한 랜덤표본이라고 하자.

이때 $P(0<\bar{X}_{16}<6, 20< \sum^{16}_{i=1} (X_i - \bar{X}_{16})^2 /16 <30)$을 계산하라.

pnorm(2,0,1) - pnorm(-4,0,1)

pchisq(19.2,df=15) - pchisq(12.8,df=15)

pnorm(2,0,1)-pnorm(-4,0,1)

(pnorm(2,0,1) - pnorm(-4,0,1)) * (pchisq(19.2,df=15) - pchisq(12.8,df=15))

14. $X_1, X_2, \dots, X_{16}$과 $Y_1,Y_2,\dots,Y_{25}$이 각각 $N(0,9)$와 $N(2,16)$으로부터 구한 서로 독립인 랜덤표본이라고 하자. 이때

(1) $\bar{X}_{16} - \bar{Y}_{25}$ 의 분포를 구하라.

(2) $P(\bar{X}_{16} - \bar{Y}_{25} > 0)$ 를 계산하라.

1-pnorm(0,-2,sqrt(481/400))

17. 모분포 $N(0,1)$ 로부터 랜덤표본 $X_1, X_2,\dots , X_{50}$을 얻었다고 할 때,

(1) $P(X_1 - X_2 < 2)$ 을 계산하라.

(2) $P(X_1 + X_2 < 2)$ 을 계산하라.

(3) $P(X^{2}_{1} + \dots + X^{2}_{50} < 60)$ 을 계산하라.

(4) $P(40 < X^{2}_{1} + \dots + X^{2}_{50} < 60)$ 을 계산하라.

(5) $P(X^{2}_{1} + \dots + X^{2}_{50} < 50 + c) = 0.9$ 를 만족하는 상수 $c$ 를 구하라.

pnorm(sqrt(2),0,1)

pnorm(sqrt(2),0,1)

pchisq(60,df=50)

pchisq(60,df=50)-pchisq(40,df=50)

qchisq(0.9,df=50)-50