06wk-2: 중간고사

Author

최규빈

Published

April 10, 2023

1. Cardinality

(1) \(\mathbb{Q}\)의 cardinality가 \(\aleph_0\)임을 증명하라.

(풀이) 생략

(2) \(\mathbb{R}\)의 cardinality가 \(\aleph_0\)이 아님을 보여라.

(풀이) 생략

2. \(\sigma\)-field

(1) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\)일 때, 다음 중 시그마필드의 정의를 만족하는 집합을 모두 골라라.

  1. \({\cal F}=\{\emptyset, \Omega\}\)
  2. \({\cal F}=\{\emptyset, \{1\},\{2,3,4,5,6\},\Omega\}\)
  3. \({\cal F}=\{\emptyset, \{1,2,3\}, \{4,5,6\}, \Omega\}\)
  4. \({\cal F}=2^\Omega\)

(풀이) 1,2,3,4 모두 시그마필드

(2) \(\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}\) 일 때,

\[{\cal A}=\{\{1,2,3\},\{4,5,6\}\}\]

이라고 하자. \(\sigma({\cal A})\)를 구하여라.

(풀이) \(\sigma({\cal A}) = \{\emptyset, \Omega, \{1,2,3\},\{4,5,6\}\}\)

(3) \(\Omega=\mathbb{N}\) 일 때,

  • \({\cal A}=\{\{n\}: n \in \mathbb{N}\}\)
  • \({\cal F} = \sigma({\cal A})\)

이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.

  1. \(\{2\} \in {\cal F}\) 인가?
  2. \(\mathbb{N} \in {\cal F}\) 인가?
  3. \(\emptyset \in {\cal F}\) 인가?
  4. \(\{2n: n\in \mathbb{N}\} \in {\cal F}\) 인가?
  5. \(\mathbb{Z} \in {\cal F}\) 인가?

(풀이) 1,2,3,4 (O) // 5 (X)

시그마필드는 공집합과 전체집합을 포함하므로 \(\mathbb{N}, \emptyset\)은 \({\cal F}\)의 원소이어야 한다. 시그마필드의 원소는 \(\mathbb{N}\)의 부분집합이어야 하므로 \(\mathbb{Z}\)는 \({\cal F}\)의 원소가 될 수 없다. \({\cal F}\)는 \(\{2\},\{4\},\{6\},\dots\) 등을 원소로 포함하고 가산합집합에 닫혀있으므로 \(\{2n: n \in \mathbb{N}\}\) 은 \({\cal F}\)의 원소이다.

(4) \(\Omega=\mathbb{R}\) 일 때,

  • \({\cal A}=\{(a,b): -\infty <a< b< \infty\}\)
  • \({\cal F}=\sigma({\cal A})\)

이라고 하자. 아래의 물음에 답하여라.

  1. \(\{0\} \in {\cal F}\) 인가?
  2. \(\mathbb{R} \in {\cal F}\) 인가?
  3. \(\mathbb{Q} \in {\cal F}\) 인가?
  4. \(\mathbb{R} - \mathbb{Q} \in {\cal F}\) 인가?
  5. \((1,3] \in {\cal F}\) 인가?
  6. \([1,3] \in {\cal F}\) 인가?
  7. \([1,3) \in {\cal F}\) 인가?
  8. \([1,3) \cup (3,5] \in {\cal F}\) 인가?

note: 시그마필드가 교집합, 차집합등에 닫혀있다는 성질은 증명없이 이용해도 무방함.

(풀이) 1,2,3,4,5,6,7,8 모두 O.

1. \((-1,1) - \big((-1,0)\cup (0,1)\big) \in {\cal F}\)

  • 모든 열린구간은 \({\cal F}\)의 원소이고, 열린구간의 합집합 역시 \({\cal F}\)의 원소이므로 \((-1,0) \cup (0,1)\) 역시 \({\cal F}\)의 원소이다.
  • \(A=(-1,1)\), \(B=(-1,0)\cup (0,1)\) 이라고 하면, \(A-B = \{0\}\) 이고 시그마필드는 차집합에 닫혀있으므로 \(A\in {\cal F}, B \in {\cal F}\) 는 \(A-B=\{0\} \in {\cal F}\)를 imply한다.

2. \(\Omega \in {\cal F}\)

  • 시그마필드는 전체집합을 포함하므로 \(\mathbb{R}\)은 \({\cal F}\)의 원소이다.

3. \(\forall x \in \mathbb{Q}, \{x\} \in \mathbb{Q} ~\Rightarrow ~\cup_{x \in \mathbb{Q}} \{x\} \in {\cal F}\)

  • 1에 의하여 하나의 원소만 포함하는 모든 집합은 \({\cal F}\)의 원소이다. 즉 모든 \(x\in \mathbb{R}\)에 대하여 \(\{x\} \in {\cal F}\) 이 성립한다.
  • 유리수전체의 집합은 \(\mathbb{Q}=\cup_{x \in \mathbb{Q}} \{x\}\) 와 같이 한점만 포함하는 집합들의 countable union으로 표현가능하고, 시그마필드는 countable union에 닫혀있으므로 \(\mathbb{Q} \in {\cal F}\) 이다.

4. \(\mathbb{Q} \in {\cal F} ~\Rightarrow~ \mathbb{Q}^c \in {\cal F}\)

  • 무리수전체의 집합은 \(\mathbb{Q}^c = \cup_{x \in \mathbb{Q}^c}\{x\}\) 와 같이 한점만 포함하는 집합들의 uncountable union으로 표현되므로 3과 같은 방식으로는 증명할 수 없음.
  • 하지만 \(\mathbb{Q} \in \mathbb{R}\)임을 3에서 보였고, 시그마필드는 여집합에 닫혀있으므로 \(\mathbb{Q}^c \in \mathbb{R}\) 임을 보일 수 있다.

5-8.

  • 모든 열린구간은 \({\cal F}\)의 원소이며, 한점만 포함된 모든 집합 \(\{x\}, x\in\mathbb{R}\) 은 1과 유사한 논리로 \({\cal F}\)의 원소임을 보일 수 있으므로 5-8은 모두 성립함.

3. 확률과 확률변수

(1) 아래와 같은 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)를 고려하자.

  • \(\Omega=\{a,b,c,d\}\)
  • \({\cal F}=2^\Omega\)

아래와 같은 확률변수 \(X: \Omega \to \{1,2,3,4\}\) 를 고려하자. 다음 중 올바른 표현은?

  1. \(X(a)\)
  2. \(X(\{a\})\)
  3. \(P(a)\)
  4. \(P(\{a\})\)
  5. \(P(X=1)\)
  6. \(X = \begin{cases} 1 & w.p.~\frac{1}{2} \\ 2 & w.p. ~\frac{1}{6} \\ 3 & w.p. ~\frac{1}{6} \\ 4 & w.p. ~\frac{1}{6} \end{cases}\)

(풀이) 1,4,5,6

(2) 두개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)와 \((S,{\cal S})\)를 고려하자. 단,

  • \(\Omega=\mathbb{R}\),
  • \({\cal F} =\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\mathbb{Q}\}\),
  • \(S = \{0,1\}\),
  • \({\cal S} = 2^{S}\).

아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to S\)을 고려하라.

\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega \in \mathbb{Q}\\ 1 & \omega \in \mathbb{R} - \mathbb{Q} \end{cases}\]

\(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\)에서의 확률변수인가? (즉 \(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\to(S,{\cal S})\)인 가측함수인가?)

(풀이) 확률변수임.

Note: \(\sigma({\cal A})=\{\emptyset, \mathbb{Q}, \mathbb{Q}^c, \mathbb{R} \}, 2^S = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0,1\}\}\)

확률변수임을 체크하기 위해서는 \(2^S\)의 모든 원소 \(B\)에 대하여 \(X^{-1}(B):= \{\omega : X(\omega) \in B\} \in {\cal F}\) 임을 확인하면 된다.

  • \(B=\emptyset\) 일 경우: \(\{\omega: X(\omega) \in \emptyset\}=\emptyset \in \sigma({\cal A})\)
  • \(B=\{0\}\) 일 경우: \(\{\omega: X(\omega) \in \{0\}\}=\mathbb{Q} \in \sigma({\cal A})\)
  • \(B=\{1\}\) 일 경우: \(\{\omega: X(\omega) \in \{1\}\}=\mathbb{Q}^c \in \sigma({\cal A})\)
  • \(B=\{0,1\}\) 일 경우: \(\{\omega: X(\omega) \in \{0,1\}\}=\mathbb{R} \in \sigma({\cal A})\)

(3) 두개의 잴 수 있는 공간 \((\Omega, {\cal F})\)와 \((S,{\cal S})\)를 고려하자. 단,

  • \(\Omega=\mathbb{R}\),
  • \({\cal F} =\sigma({\cal A})\) where \({\cal A} = \{\mathbb{Q}\}\),
  • \(S = \{0,1\}\),
  • \({\cal S} = 2^S\).

아래와 같은 함수 \(X:\Omega \to S\)을 고려하라.

\[X(\omega) = \begin{cases} 0 & \omega =0\\ 1 & \omega \neq 0 \end{cases}\]

\(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\)에서의 확률변수인가? (즉 \(X\)는 \((\Omega,{\cal F})\to(S,{\cal S})\)인 가측함수인가?)

(풀이) 확률변수가 아님. \(B=\{0\}\) 일 경우, \(\{\omega: X(\omega) \in B\}=\{0\} \notin \sigma({\cal A})\) 이므로 확률변수의 정의에 만족하지 않음.