03wk-1: 측도론 intro (3)

최규빈

2023-03-16

강의영상

https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-y_-OXU_IFt6uH3oo61swW4

지난시간 내용

전사, 단사, 전단사

함수 $f:X\to Y$ 를 상상하자.

- 단사함수(일대일함수,인젝티브한 함수): $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X:x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$

• 암기 (고등학교): 입력이 다르면 출력이 달라
• 느낌: 화살표가 팍 퍼지는 느낌
• 그래프를 이용한 판단 (고등학교): 수평선을 그어서 교점이 2개 이상이면 단사함수가 아님

- 전사함수(위로의함수,서젝티브한 함수): $\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X$ such that $f(x)=y$

• 암기 (고등학교): 치역 = 공역
• 암기 (대학교): inverse image가 정의역에 있어야함 ($\star$)
• 느낌: 화살표가 모이는 느낌
• 그래프를 이용한 판단 (고등학교): 모양으로 판단하기 애매함..¹

- 전단사함수(일대일대응함수,바이젝티브한 함수)

예제 (finite cases)

예시1

그림1: 단사함수 O, 전사함수 X

- 단사함수임을 따져보자!

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X:x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$

$x_1$	$x_2$	$f(x_1)$	$f(x_2)$
1	2	D	B
1	3	D	A
2	1	B	D
2	3	B	A
3	1	A	D
3	2	A	B

- 전사함수임을 따져보자!

$\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X$ such that $f(x)=y$

$y$	$x$ such that $f(x)=y$
D	1
B	2
C	?
A	3

예시2

그림2: 단사함수 X, 전사함수 O

- 단사함수임을 따져보자!

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X:x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$

$x_1$	$x_2$	$f(x_1)$	$f(x_2)$
1	2	D	B
1	3	D	C
1	4	D	C
2	1	B	D
2	3	B	C
2	4	B	C
3	1	C	D
3	2	C	B
3	4	C	C
4	1	C	D
4	2	C	B
4	3	C	C

- 전사함수임을 따져보자!

$\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X$ such that $f(x)=y$

$y$	$x$ such that $f(x)=y$
D	1
B	2
C	3,4

예시3

그림3: 단사함수 X, 전사함수 X

- 단사함수임을 따져보자!

$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X:x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$

$x_1$	$x_2$	$f(x_1)$	$f(x_2)$
1	2	d	d
1	3	d	c
2	1	d	d
2	3	d	c
3	1	c	d
3	2	c	d

- 전사함수임을 따져보자!

$\mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X$ such that $f(x)=y$

$y$	$x$ such that $f(x)=y$
a	?
d	1,2
b	?
c	3

예제 (infinite cases)

예시1

- 아래를 판단해보자.

1. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ defined by $f(x)=2x+1$. // 답²

2. $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ defined by $f(x)=x^2$. // 답³

3. $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ defined by $f(x)=x^2$. // 답⁴

4. $f:\mathbb{Z}\to \{0,1\}$ defined by $f(x)=x\text{mod}2$. // 답⁵

5. $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}\cup \{0\}$ defined by $f(x)=x-1$. // 답⁶

6. $f:\mathbb{N}\to {\mathbb{N}}^{-}$ defined by $f(k)=-k$. // 답⁷

   • 여기에서 ${\mathbb{N}}^{-}\{-1,-2,\dots ,\}$ 으로 정의

예시2

- 집합 $X$가 집합 $Y$의 부분집합이라면 항상 $X$에서 $Y$로 향하는 단사함수가 존재함을 보여라.

• 따라서 $X\subset Y$ $\Rightarrow$ $|X|\le |Y|$

실수집합의 카디널리티

- 아래의 관계가 성립했다.

• $|\mathbb{N}|={\mathrm{\aleph }}_0$
• $|\mathbb{N}\cup \{0\}|={\mathrm{\aleph }}_0$
• $|\mathbb{Z}|={\mathrm{\aleph }}_0$
• $|\mathbb{Q}|={\mathrm{\aleph }}_0$

- 그렇다면 아래는 어떠할까?

$$|\mathbb{R}|=??$$

(주장) 실수의 유리수의 카디널넘버 보다 크다.

그런데 유리수의 카디널넘버와 자연수의 카디널넘버가 같다는 것을 떠올리면 “실수의 카디널넘버는 자연수의 카디널넘버보다 크다” 를 보여도 충분함을 유추할 수 있다.

(단사)

자연수에서 실수로 가는 단사함수는 존재한다. (자연수는 실수의 부분집합이니까)

(전사)

소망: $\mathbb{N}$에서 $\mathbb{R}$로 향하는 전사는 존재할 수 없음을 보이고 싶음.

소망2: 그런데 $\mathbb{N}$에서 $[0,1]$로 향하는 전사가 존재할 수 없음을 보여도 충분함.

전략: $\mathbb{N}$에서 $[0,1]$로 가는 전사가 존재한다고 가정하고 모순을 이끌어 내자.

1. 아래와 같은 주장을 하는 가상의 인물을 세움:

$\mathbb{N}$에서 $[0,1]$로 향하는 전사함수가 존재한다.

2. 그 가상의 인물이 하는 주장을 잘 생각해보면 아래와 같음

$f$는 정의역이 자연수이고 공역이 실수인 함수이므로 아래와 같은 형태일 것임.

• $f(1)=0.2344253456\cdots$
• $f(2)=0.3459837981\cdots$
• $f(3)=0.5452349871\cdots$
• $\dots$

그 가상의 인물의 주장대로라면

$$[0,1]=\{f(1),f(2),f(3),\dots \}$$

이라는 의미임.⁸

3. 전사함수의 정의에 의하여 아래가 성립해야 함

$\mathrm{\forall }y\in [0,1]\mathrm{\exists }x\in \mathbb{N}$ such that $f(x)=y$

아래의 원리에 따라서 $y=0.x_1{x}_2{x}_3\cdots$를 뽑는다면?

• $y$의 첫번째 소수점의 값 $x_1$은 $f(1)$의 첫번째 소수점과 다르게 한다. $\Rightarrow$ $y\ne f(1)$ $\Rightarrow$ $y\notin \{f(1)\}$
• $y$의 두번째 소수점의 값 $x_2$은 $f(2)$의 두번째 소수점과 다르게 한다. $\Rightarrow$ $y\ne f(1)$ and $y\ne f(2)$ $\Rightarrow$ $y\notin \{f(1),f(2)\}$

이러한 $y$는 분명히 실수이지만 $y\notin \{f(1),f(2),f(3),\dots ,\}$ 이다.⁹

무리수집합의 카디널리티

(주장) 무리수집합의 카디널리티는 ${\mathrm{\aleph }}_0$가 아니다.

(쉐도복싱) 무리수집합의 카디널리티가 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 이라고 하자.

• $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup {\mathbb{Q}}^c$
• $|\mathbb{Q}|={\mathrm{\aleph }}_0$ 이므로 $\mathbb{Q}$와 $\mathbb{N}$사이에는 전단사함수가 존재함.
• $|{\mathbb{Q}}^c|={\mathrm{\aleph }}_0$ 이므로 ${\mathbb{Q}}^c$와 ${\mathbb{N}}^{-}=\{-1,-2,\dots \}$사이에는 전단사함수가 존재함.
• 따라서 $\mathbb{Q}\cup {\mathbb{Q}}^c$ 와 $\mathbb{N}\cup {\mathbb{N}}^{-}$ 사이에는 전단사함수가 존재함. (모순)

Footnotes

1. $y=x^2$은 공역을 $\mathbb{R}$로 설정한다면 전사함수가 아니지만 공역을 ${\mathbb{R}}_{\ge 0}$로 설정한다면 전사함수임

2. 단사 O, 전사 O

3. 단사 X, 전사 X

4. 단사 X, 전사 O

5. 단사 X, 전사 O

6. 단사 O, 전사 O

7. 단사 O, 전사 O

8. 다시 말하면 $[0,1]$ 사이의 모든 실수는 “셀수있다”라는 의미임

9. 모순이네?