확률변수와 확률분포
1.
세 개의 상자에는 각각 1,2,3,4가 적혀있는 네 장의 카드가 들어 있다. 각 상자에서 임의로 카드를 한 장씩 선택하여 \(X\)와 \(Y\)를 다음과 같이 정의할 때, \(X\)롸 \(Y\)의 결합확률분포를 구하시오
- \(X\) = 세 장의 카드 중 가장 작은 값, \(Y\) = 세 장의 카드 중 가장 큰 값
Answer
| X,Y | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\frac{1}{64}\) | \(\frac{6}{64}\) | \(\frac{12}{64}\) | \(\frac{18}{64}\) |
| 2 | 0 | \(\frac{1}{64}\) | \(\frac{6}{64}\) | \(\frac{12}{64}\) |
| 3 | 0 | 0 | \(\frac{1}{64}\) | \(\frac{6}{64}\) |
| 4 | 0 | 0 | 0 | \(\frac{1}{64}\) |
총 64 cases 존재, \(\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} = 64\)
\(P(X=1,Y=2) , (1,2) \to \frac{3 \times 2 \times 1}{2} \times 2 = \frac{6}{64}\)
\(P(X=1,Y=3) , (1,2,3) \to (\frac{3 \times 2 \times 1}{2} \times 2) + (3 \times 2 \times 1) = \frac{12}{64}\)
\(P(X=1,Y=4) , (1,2,3,4) \to (\frac{3 \times 2 \times 1}{2} \times 2) + (3 \times 2 \times 1 \times 2) = \frac{18}{64}\)
\(P(X=2,Y=3) , (2,3) \to (\frac{3 \times 2 \times 1}{2} \times 2) + (3 \times 2 \times 1) = \frac{6}{64}\)
\(P(X=2,Y=4) , (2,3,4) \to (\frac{3 \times 2 \times 1}{2} \times 2) + (3 \times 2 \times 1) = \frac{12}{64}\)
\(P(X=3,Y=4) , (3,4) \to (\frac{3 \times 2 \times 1}{2} \times 2) + (3 \times 2 \times 1) = \frac{6}{64}\)
\(P(X=1,Y=1) = P(X=2,Y=2) = P(X=3,Y=3) = P(X=4,Y=4) = \frac{1}{64}\)
\(\sum^n_{n=1}\sum^m_{m=1}(X,Y) = 1\)
2.
\(X\)와 \(Y\)는 다음과 같은 결합분포를 가지고 있다.
| \(y\) | ||||
|---|---|---|---|---|
| \(10\) | \(20\) | \(30\) | ||
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{1}{9}\) | \(\frac{1}{9}\) | \(0\) |
| \(1\) | \(\frac{1}{6}\) | \(0\) | \(\frac{1}{6}\) | |
| \(2\) | \(0\) | \(\frac{2}{9}\) | \(\frac{2}{9}\) |
(a) \(X\)의 주변분포를 구하시오.
Answer
\(F_X(X)\)
- \(P(X=0) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{2}{9}\)
- \(P(X=1) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} =\frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
- \(P(X=2) = \frac{2}{9} + \frac{2}{9} = \frac{4}{9}\)
(b) \(Y\)의 주변분포를 구하시오.
Answer
\(F_Y(Y)\)
- \(P(Y=10) = \frac{1}{9} + \frac{1}{6} = \frac{15}{54} = \frac{5}{18}\)
- \(P(Y=20) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} =\frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
- \(P(Y=30) = \frac{1}{6} + \frac{2}{9} = \frac{21}{54} = \frac{7}{18}\)
(c) \(Y=10\) 일 때 \(X\)의 조건부분포를 구하시오
Answer
\(F_X(Y=10|X=0) = \frac{1/9}{5/18} = \frac{2}{5}\)
\(F_X(Y=10|X=1) = \frac{1/6}{5/18} = \frac{3}{5}\)
\(F_X(Y = 10|X = 2) = \frac{0}{5/18} = 0\)
3.
두 연속형 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 결합확률밀도함수 \(f(x,y) = 2I(0<x<y<1)\)일 때, \(X\)의 주변확률밀도함수를 구하고, \(X\)와 \(Y\)는 서로 독립인지 확인하시오.
Answer
\(f_X(X) = \int^1_x 2 dy = [ 2y]^1_x = 2(1-x)\)
\(f_Y(Y) \int^y_0 2 dx = [2x]^y_0 = 2y\)
\(f_{XY}(X,Y) \neq f_X(X)\times f_Y(Y)\)
\(X,Y\)는 독립이 아니다.
4.
두 연속형 확률변수 \(X\)와 \(Y\)의 결합확률밀도함수 \(f(x,y) = 2xe^{x+2y}I(0<x<\inf, 0< y< \inf)\) 일 때, \(Y\)의 주변확률밀도함수를 구하고, \(X\)와 \(Y\)는 서로 독립인지 확인하시오.
Answer
\(f_Y(Y) = \int^{\infty}_0 2xe^{-(x+2y)} dx\)
\(= [-2xe^{-(x+2y)}]^{\infty}_0 - \int^{\infty}_0 -2 e^{-(x+2y)} dx\)
\(= 2[-e^{-(x+2y)}]^{\infty}_0 = 2e^{-2y}\)
\(f_X(X) = \int^{\infty}_0 2xe^{-(x+2y)} dy = [-xe^{-(x+2y)}]^{\infty}_0 = xe^{-x}\)
\(f_{XY}(X,Y) = f_X(X) \times f_Y(Y)\)
\(X,Y\)는 서로 독립이다.