확률변수의 극한
3장
23.
서로 독립인 랜덤표본 \(X_1,X_2, \dots, X_n\)과 \(Y_1,Y_2,\dots,Y_n\)이 각각 평균이 \(\mu_1,\mu_2\) 이고, 분산은 \(\sigma^2\)으로 같다고 하자, 이때
\[\frac{(\bar{X}_n - \bar{Y}_n) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma\sqrt{2/n}}\]
의 극한 분포를 구하라.
answer
\(E(X_n) = \mu_1\), \(E(Y_n) = \mu_2\), \(Var(X_n) = Var(Y_N) = \sigma^2\)
\(E(X_n - Y_N) = \mu_1 - \mu_2\), \(var(X_n - Y_n) = 2\sigma^2\)
\(\frac{\sum(X_i - \mu_i) - \sum(Y_i - \mu_2)}{\sqrt{2\sigma^2 n}} = \frac{(\bar{X}_n - \bar{Y}_n) - (\mu_1 - \mu_2)}{\sigma \sqrt{2/n}} \sim N(0,1)\)
33.
평균이 1인 지수분포로부터 랜덤표본 \(X_1, X_2, \dots, X_n\)을 얻었다.
\(\sqrt{n}(\sqrt{\bar{X}_n} - 1)\)의 극한 분포를 구하라.
answer
중심극한정리에 의해 \(\sqrt{n}(\bar{X}_n - 1) \xrightarrow[]{d} N(0,1)\)이고,
정리 3.16에 의해 \(g(x) = \sqrt(x)\)에서 \(\sqrt{n}(g(\bar{X}_n) - g(1)) \xrightarrow[]{d} N(0,(g'(2))^2)\)이다.
\(g(x) = \sqrt{x}\), \(g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)
즉, \(\sqrt{n}(\sqrt{\bar{X}_n} - 1) \xrightarrow[]{d} N(0,\frac{1}{4})\)이다.
\(\star\) 정리 3.16
(델타 방법) 확률변수의 열 \(X_1, X_2,\dots, X_n,\dots\)에 대해서
\[\sqrt{n}(X_n - \theta) \xrightarrow[]{d}N(0,\sigma^2)\]
이라고 하자. 이때 함수 \(g(\theta)\)의 연속인 도함수 \(g'(\theta)\)가 존재하고, \(0\)이 아니면
\(\sqrt{n}(g(X_n) - g(\theta)) \xrightarrow[]{d} N(0,\sigma^2[g'(\theta)]^2)\)이 성립한다.
34.
평균과 분산이 각각 \(\mu\)와 \(\sigma^2 < \infty\)인 확률밀도함수 \(f(x)\)로부터 랜덤표본 \(X_1, X_2, \dots, X_n\)을 얻었다.
(1)
\(\sqrt{n}(\bar{X}_n^2 - \mu^2) \xrightarrow[]{d} N(0,4 \mu^2 \sigma^2)\)임을 보여라, 단 \(\mu \neq 0\)
answer
Delta Method
\(\sqrt{n}(g(X_n) - g(\mu) ) \xrightarrow[]{d} N(0,\sigma^2 g'(\mu)^2)\)
\(g(X_n) = \bar{X}_n^2\), \(g'(X_n) = 2\bar{X}_n\)
\(g(\mu) = \mu^2\), \((g'(\mu))^2 = 4\mu^2\)
\(\sqrt{n}(\bar{X}_n^2 - \mu^2) \xrightarrow[]{d} N(0,4\mu^2 \sigma^2)\)
(2)
(1)에서 \(\mu=0\)인 경우에 대해 설명하라.
answer
\(\mu=0\)
\(\sqrt{n} \bar{X}^2_n \xrightarrow[]{d} N(0,0)\) 분산 0
\(\sqrt{n}\bar{X}^2_n \xrightarrow[]{p} 0\) 0으로 확률 수렴한다.