강의영상

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예비학습

헷갈리는 표현: $\infty$의 포함

- 자연수집합 $\mathbb{N}$은 $\{\infty\}$를 포함하지 않는다. 마찬가지로 실수집합 $\mathbb{R}$ 역시 $\{-\infty\}, \{\infty\}$를 포함하지 않는다. 만약에 이를 포함하고 싶을 경우는 아래와 같이 표현한다.

$\mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \{\infty\} = \bar{\mathbb{R}}$
$\mathbb{N} \cup \{-\infty\}$

여기에서 $\bar{\mathbb{R}}$은 확장된 실수라고 부르는데 교재에따라 사용하기도 하고 사용하지 않기도 한다.

- 만약에 $\mathbb{N}$이 $\{\infty\}$를 포함한다면

$\forall n \in \mathbb{N}:~ 0<\frac{1}{n} \leq 1$

와 같은 표현은 불가능할 것이다.

- 구간에 대한 표현들: 구간에 대한 몇가지 표현을 정리하면 아래와 같다.

$(-\infty, b] = \{x: x\leq b, ~x,b \in \mathbb{R}\}$
$(-\infty, b) = \{x: x < b,~ x,b \in \mathbb{R}\}$

- 구긴에 대한 표현 응용: 아래와 같은 표현을 고려하자. (교재의 예제 1.1.8과 비슷한 표현)

${\cal A} = \{(a,b]: -\infty \leq a < b \leq \infty\}$

${\cal A}$의 원소의 형태는

$\{x: a<x\leq b,~ a,x,b \in \mathbb{R}\}$
$\{x: a<x,~ a,x \in \mathbb{R}\}$
$\{x: x\leq b,~ x,b \in \mathbb{R}\}$
$\{x: x \in \mathbb{R}\}$

이다.

약간 무식하게 생각하면 $[-\infty, b) = (-\infty,b)$ 로 해석하면 된다. 즉 $\{-\infty\} \notin [-\infty,b)$ 이라는 의미! 보는것 처럼 $[-\infty, b)$와 같은 표현은 엄청난 혼란을 불러오는 표현이므로 사용을 자제한다.

메져의 종류와 성질

- 메져의 종류와 성질 요약

분류	$m(\emptyset)=0$	$\sigma$-add	$A_i\uparrow \Omega$, $m(A_i)<\infty$	$m(\Omega)<\infty$	$m(\Omega)=1$	$.$	monotone	$\sigma$-subadd	conti-below	conti-above
msr	$O$	$O$	$X$	$X$	$X$	$.$	$O$	$O$	$O$	$\Delta$
$\sigma$-finite-msr	$O$	$O$	$O$	$X$	$X$	$.$	$O$	$O$	$O$	$\Delta$
finite-msr	$O$	$O$	$O$	$O$	$X$	$.$	$O$	$O$	$O$	$O$
prob-msr	$O$	$O$	$O$	$O$	$O$	$.$	$O$	$O$	$O$	$O$

- 용어들

$\sigma$-additive: $m(\uplus_{i=1}^{\infty} B_i) = \sum_{i=1}^{\infty} m(B_i)$
monotone: $A\subset B \Rightarrow m(A) \subset m(B)$
$\sigma$-subadditive: $m(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) \leq \sum_{i=1}^{\infty} m(A_i)$
continuous from below: $A_i \uparrow A$ $\Rightarrow$ $m(\lim_{n\to\infty}A_i)=\lim_{n\to\infty}m(A_i)$
continuous from above: (1) $A_i \downarrow A$ and (2) $m(A_1)<\infty$ $\Rightarrow$ $m(\lim_{n\to\infty}A_i)=\lim_{n\to\infty}m(A_i)$

- 교재의 언급 (p2. Thm 1.1.1)

- $\sigma$-finite msr 에 대한 동치조건: $m$이 $(\Omega, {\cal F})$에서의 msr이라면, 아래는 동치이다. (ref: https://en.wikipedia.org/wiki/%CE%A3-finite_measure)

언어버전

The set $\Omega$ can be covered with at most countably many measurable sets with finite measure.
The set $\Omega$ can be covered with at most countably many measurable disjoint sets with finite measure.
The set $\Omega$ can be covered with monotone sequence of measurable sets with finite measure.

수식버전

There are sets $A_1,A_2,\dots \in {\cal A}$ with $m(A_i)<\infty$ such that $\cup_{i=1}^{\infty}A_i=\Omega$
There are sets $B_1,B_2,\dots \in {\cal A}$ with $m(B_i)<\infty$ and $B_1,B_2\dots$ are disjoints such that $\uplus_{i=1}^{\infty}B_i=\Omega$
There are sets $C_1,C_2,\dots \in {\cal A}$ with $m(C_i)<\infty$ and $C_1 C_2 $ such that $\cup_{i=1}^{\infty}C_i=\Omega$

파이시스템에서의 확장이론 (메져버전)

복습 & Motivating EX

- 귀찮아서 만든 이론2: 운이 좋다면, ${\cal A}$ 에서 확률의 공리를 만족하는 적당한 함수 $\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]$를 $(\Omega, \sigma({\cal A}))$ 에서의 확률측도 $P$로 업그레이드 할 수 있으며 업그레이드 결과는 유일하다.

- 이론: $(\Omega, \sigma({\cal A}), P)$를 확률공간이라고 하자. 여기에서 ${\cal A}$는 파이시스템이라고 가정하자. 그렇다면 확률측도 $P:\sigma({\cal A}) \to [0,1]$의 값은 $P: {\cal A} \to [0,1]$의 값에 의하여 유일하게 결정된다.

- 이 이론은 확률측도일 경우만 성립하고 측도일 경우는 실패했었다.

(예제1) – 통계학과라서 행복했던 예제

$\Omega=\{a,b\}$ 이라고 하고 ${\cal A} = \{\{a\}\}$ 라고 하자. 가측공간 $(\Omega,\sigma({\cal A}))$에서 정의가능한 모든 확률측도 $P$는 ${\cal A}$에서의 값으로 유일하게 결정됨을 확인하였다. 하지만 가측공간 $(\Omega,\sigma({\cal A}))$에서 정의가능한 측도 $m$은 ${\cal A}$에서의 값으로 유일하게 결정되지 않는다.

	$m_1$	$m_2$
$\{a\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$-$	$-$	$-$
$\emptyset$	$0$	$0$
$\{b\}$	$\frac{1}{2}$	$1$
$\Omega$	$1$	$\frac{3}{2}$

- 직관: 그냥 ${\cal A}$에 $\Omega$가 있었다면 되는거 아닌가? 예를들어 아래와 같이 설정한다면?

	$m_1$	$m_2$
$\{a\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\Omega$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$
$-$	$-$	$-$
$\emptyset$	$0$	$0$
$\{b\}$	$1$	$1$

$m_1(\{b\})=m_2(\{b\})=1$ 일 수밖에 없지 않을까?

- 혹시 아래와 같이 이론을 수정하면 되지 않을까?

$(\Omega, \sigma({\cal A}))$을 잴 수 있는 공간이라고 하고, $m$을 이 공간에서의 메져라고 하자. 만약에 ${\cal A}$가 “전체집합을 포함하는 파이시스템” 이라면 메져 $m:\sigma({\cal A}) \to [0,1]$의 값은 $m: {\cal A} \to [0,1]$의 값에 의하여 유일하게 결정된다. (거의 맞는데 한 조건이 빠져서 틀렸음)

(예제2)

$\Omega=\{a,b,c\}$ 이라고 하고 ${\cal A} = \{\{a\},\Omega\}$ 라고 하자. 여기에서 ${\cal A}$는 “$\Omega$가 포함된 파이시스템”이다. 가측공간 $(\Omega,\sigma({\cal A}))$에서 정의가능한측도 $m$은 ${\cal A}$에서의 값으로 유일하게 결정될까?

(풀이) 아래의 반례가 존재함.

	$m_1$	$m_2$
$\{a\}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\Omega$	$\infty$	$\infty$
$-$	$-$	$-$
$\emptyset$	$0$	$0$
$\{b\}$	$1$	$\infty$
$\{c\}$	$\infty$	$5$
$\{a,b\}$	$\frac{3}{2}$	$\infty$
$\{a,c\}$	$\infty$	$\frac{11}{2}$
$\{b,c\}$	$\infty$	$\infty$

- 이론: $(\Omega, \sigma({\cal A}))$을 잴 수 있는 공간이라고 하고, $m$을 이 공간에서의 유한측도라고 하자. 그리고 ${\cal A}$는 전제집합을 포함하는 파이시스템이라고 하자. 그렇다면 메져 $m:\sigma({\cal A}) \to [0,M]$의 값은 $m: {\cal A} \to [0,M]$의 값에 의하여 유일하게 결정된다. (단, $M=m(\Omega)<\infty$)

(예제3) – ${\cal A}$가 $\Omega$를 포함하지 않는데, 메져가 유일하게 결정될 것 같은 예제

$\Omega = \mathbb{Z}$ 이라고 하자. $\Omega$의 부분집합들로 이루어진 수열 $A_1,A_2,\dots$ 를 아래와 같이 정의하자.

$A_{1} = [-\frac{1}{2}, \frac{2}{2}] \cap \mathbb{Z} = \{0, 1\}$
$A_{2} = [-\frac{2}{2}, \frac{3}{2}] \cap \mathbb{Z} = \{-1, 0, 1\}$
$A_{3} = [-\frac{3}{2}, \frac{4}{2}] \cap \mathbb{Z} = \{-1, 0, 1, 2\}$
$A_{4} = [-\frac{4}{2}, \frac{5}{2}] \cap \mathbb{Z} = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$
$A_{5} = [-\frac{5}{2}, \frac{6}{2}] \cap \mathbb{Z} = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$
$\dots$

관심있는 집합들의 모임은 ${\cal A}=\{A_n:n \in \mathbb{N}\}$로 정의하자. 가측공간 $(\Omega,\sigma({\cal A}))$에서 정의가능한 측도 $m$은 ${\cal A}$의 값으로 유일하게 결정될까?

(관찰)

풀이에 앞서서 아래의 사실을 관찰해보자.

${\cal A}$는 파이시스템이다.
집합열 $A_n$의 극한은 $\Omega$이다. 집합열 $A_n$은 증가하는 수열이므로 이 경우 $A_n \uparrow \Omega$라고 표현할 수 있다.
모든 $A_n$이 ${\cal A}$의 멤버라고 했으나 $A_n$의 극한 $\Omega$가 ${\cal A}$의 멤버라고 한 적은 없다. 따라서 ${\cal A}$는 전체집합을 포함하지는 않는 파이시스템이다.

(풀이)

가측공간 $(\Omega,\sigma({\cal A}))$에서 정의가능한 측도 $m$은 ${\cal A}$의 값으로 유일하게 결정하는 것이 가능할 것 같다. (실제로 가능해) 왜냐하면

$m(A_1),m(A_2), m(A_3) \dots$ 의 값이 결정 $\Rightarrow$ $m(\{0,1\})$, $m(\{-1\})$, $m(\{2\})$, $\dots$ 의 값이 결정

이므로, 0과 1을 제외한 $\mathbb{Z}$의 모든 원소의 길이가 유일하게 결정되니까.

생각의 시간

아래의 이론을 다시 관찰하자.

이론: $(\Omega, \sigma({\cal A}))$을 잴 수 있는 공간이라고 하고, $m$을 이 공간에서의 유한측도라고 하자. 그리고 ${\cal A}$는 전제집합을 포함하는 파이시스템이라고 하자. 그렇다면 메져 $m:\sigma({\cal A}) \to [0,M]$의 값은 $m: {\cal A} \to [0,M]$의 값에 의하여 유일하게 결정된다. (단, $M=m(\Omega)<\infty$)

(의문1)

${\cal A}$가 꼭 전체집합을 포함할 필요는 없어보인다. 즉 조건 $\Omega \in {\cal A}$는 굳이 필요 없어보인다. 이 조건은 더 약한 아래의 조건으로 대치가능하다.

$\exists A_1,A_2,\dots \in {\cal A}$ such that $A_i \uparrow \Omega$

만약에 $\Omega \in {\cal A}$인 경우는 $A_1=\Omega$로 잡으면 위 조건이 그냥 성립한다. 따라서 위의 조건은 $\Omega \in {\cal A}$ 보다 약한 조건이다. 그리고 심지어 위의 조건은 다시 아래의 더 약한 조건으로 바꿀 수 있다.

$\exists A_1,A_2,\dots \in {\cal A}$ such that $\cup_{i=1}^{\infty} A_i = \Omega$

(의문2)

심지어 $m(\Omega) = \infty$ 이어도 상관없다.¹ 이 예제에서

$m(\{0,1\})=2$
$m(\{-1\})=1$
$m(\{2\})=1$
$\dots$

이라고 하면 $m$은 잴 수 있는 공간 $(\Omega,\sigma({\cal A}))$에서의 카운팅메져가 되고, 그 $m$은 $A \in {\cal A}$에서의 값으로 유일하게 결정된다. 문제가 생길만한 것은

$m(\{0,1\})=2$
$m(\{-1\})=1$
$m(\{2\})=\infty$ <– 이러면 곤란
$\dots$

와 같은 경우이므로, 이 경우만 제약하면 된다. 즉 $m$이 시그마유한측도라고 제한하면 될 것 같다.

state

- Thm: $(\Omega, \sigma({\cal A}),m)$을 시그마유한측도공간($\sigma$-finite measure space)이라고 하자. ${\cal A}$은 아래를 만족하는 파이시스템이라고 하자.

$\exists A_1,A_2,\dots \in {\cal A}$ such that $\cup_{i=1}^{\infty} A_i = \Omega$
$\forall i \in \mathbb{N}:~ m(A_i) <\infty$

그렇다면 메져 $m:\sigma({\cal A}) \to [0,\infty]$의 값은 $m: {\cal A} \to [0,\infty]$의 값에 의하여 유일하게 결정된다.

조건 1,2는 결국 $m$을 시그마유한측도로 만들어주는 그 집합열이 $\sigma({\cal A})-{\cal A}$가 아니라 ${\cal A}$에 있어야 한다는 의미임.

증명

- 노트: supp_7wk.pdf

- 교재의 증명: 교재의 증명은 좀 더 강한 조건에서 했음. (“$A_1,A_2,\dots, {\cal A}$ with $m(A_i)<\infty$ such that $A_i \uparrow \Omega$” 를 가정함.)

카라데오도리 확장정리

- 귀찮아서 만든 이론2: 운이 좋다면, ${\cal A}$ 에서 확률비슷한 적당한 함수 $\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]$를 잘 정의한다면, 이 함수 $\tilde{P}$는 $(\Omega, \sigma({\cal A}))$에서의 확률측도 $P$로 업그레이드 할 수 있으며 업그레이드 결과는 유일하다.

state

- Thm: ${\cal A}$가 $\Omega$에 대한 semiring이라고 하자. 함수 $\tilde{m}: {\cal A} \to [0,\infty]$가

$\tilde{m}(\emptyset)=0$
$\tilde{m}(\uplus_{i=1}^{n} B_i)=\sum_{i=1}^{n}\tilde{m}(B_i)$
$\tilde{m}(\cup_{i=1}^{\infty} A_i) \leq \sum_{i=1}^{\infty}\tilde{m}(A_i)$
$\exists A_1,A_2 \dots \in {\cal A}$ with $m(A_i)<\infty$ such that $\cup_{i=1}^{\infty}A_i = \Omega$

를 만족한다면 $\tilde{m}$은 $(\Omega,\sigma({\cal A})$에서의 측도 $m$으로 업그레이드 가능하며, 이 업그레이드 결과는 유일하다.

이 결과를 ver1로 생각하자.

- 교재의 state (ver2, ver3)

ver1과의 비교: ${\cal A}$가 알지브라라는 것은 세미링보다 훨씬 강한 조건이다. 또한 measure on an algebra ${\cal A}$란 것은 1,2,3 조건을 다 합친것 보다 강한 조건이다. $\sigma$-finite이라는 조건은 ${\cal A}$의 차이를 제외하면 동일하다.

ver1과의 비교: ${\cal A}$가 세미알지브라라는 조건은 세미링보다 강한 조건이다. (i), (ii)의 ${\cal A}$의 차이만 있을 뿐 거의 동일하다. 4의 조건도 ${\cal A}$의 차이를 제외하고는 동일하다.

예제: 3월28일 (4wk) 예제들

(예제1) – motivating EX

- $\Omega=\{1,2,3,4\}$이라고 하자. 내가 관심있는 집합의 모음은 아래와 같다.

\[{\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\},\{3,4\},\Omega\}\]

- 소망: 그래도 그냥 ${\cal A}$에서만 확률 비슷한 함수 $\tilde{P}$를 잘 정의하면 $(\Omega,\sigma({\cal A}))$에서의 확률측도로 업그레이드 가능하고 업그레이드 결과가 유일할까?

$\tilde{P}(\emptyset) = 0$
$\tilde{P}(\{1\}) = 1/4$
$\tilde{P}(\{2\}) = 1/2$
$\tilde{P}(\{3,4\}) = 1/4$
$\tilde{P}(\Omega) = 1$

- 조건체크

${\cal A}$는 세미알지브라(그러므로 세미링)이다.
${\cal A}$는 전체집합을 포함하고 있으며 ${\tilde P}(\Omega)=1$이다. $\Rightarrow$ 조건 (4)가 만족.
${\tilde P}$는 (1) $\tilde{P}(\emptyset)=0$ 이고 (2) add 를 만족하며 (3) $\sigma$-subadd 를 만족한다.

참고: 이 예제의 경우 $|\Omega|<\infty$ 이므로 $\sigma$-subadd 는 subadd 와 같은 성질이다. 그리고 add 는 subadd를 imply 하므로 사실상 (2) 만 체크하면 끝난다.²

(예제2) – motivating EX (2)

- $\Omega=\{1,2,3,4\}$이라고 하고 ${\cal A} = \{\emptyset, \{1\},\{2\}, \{3,4\}, \Omega\}$ 라고 하자. 그리고 아래와 같은 $\sigma({\cal A})$를 다시 상상하자.

\[\sigma({\cal A}) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, \{1,3,4\}, \{2,3,4\}, \Omega \big\}\]

- 위의 시그마필드에서 확률을 예제1과 다른 방식으로 정의할 수 도 있다. 예를들면 아래와 같은 방식으로 정의가능하다.

	$P_1$	$\tilde{P}_1$
$\emptyset$	$0$	$0$
$\{1\}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$\{2\}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$\{3,4\}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$
$\Omega$	$1$	$1$
$-$	$-$	$-$
$\{1,2\}$	$\frac{2}{3}$	None
$\{1,3,4\}$	$\frac{2}{3}$	None
$\{2,3,4\}$	$\frac{2}{3}$	None

또한 아래와 같은 방식도 가능하다.

	$P_2$	$\tilde{P}_2$
$\emptyset$	$0$	$0$
$\{1\}$	$0$	$0$
$\{2\}$	$0$	$0$
$\{3,4\}$	$1$	$1$
$\Omega$	$1$	$1$
$-$	$-$	$-$
$\{1,2\}$	$0$	None
$\{1,3,4\}$	$1$	None
$\{2,3,4\}$	$1$	None

어떠한 방식으로 정의하든 ${\cal A}$에서 확률 비슷한 것 $\tilde{P}_1,\tilde{P}_2$를 잘 정의하기만 $\sigma({\cal A})$에서의 확률 $P$로 적절하게 확장할 수 있다. 심지어 이런 확장은 유일한 듯 하다.

- 당연함. 예제1과 동일하게 $\tilde{P_1}$과 $\tilde{P_2}$가 add 성질만 만족한다는 사실을 체크하면 끝난다.

(예제3) – 운이 안 좋은 경우

- $\Omega=\{1,2,3\}$ 이라고 하고 ${\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}$ 라고 하자.

- 아래와 같은 확률 비슷한 함수 $\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]$를 정의하자.

$\tilde{P}(\emptyset) = 0$
$\tilde{P}(\{1,2\}) = 0$
$\tilde{P}(\{2,3\}) = 0$
$\tilde{P}(\Omega) = 1$

- 체크: 일단 ${\cal A}$는 세미링이 아니다. 따라서 확장 불가능. 세미링이 맞다고 하여도 subadd가 성립하지 않는다.

(예제4) – 운이 안 좋은 경우

- $\Omega=\{1,2,3,4\}$ 이라고 하고 ${\cal A} = \{\emptyset, \{1,2\},\{2,3\}, \Omega\}$ 라고 하자.

- 아래와 같은 확률 비슷한 함수 $\tilde{P}:{\cal A} \to [0,1]$를 정의하자.

$\tilde{P}(\emptyset) = 0$
$\tilde{P}(\{1,2\}) = 1/2$
$\tilde{P}(\{2,3\}) = 1/2$
$\tilde{P}(\Omega) = 1$

- 체크: $\tilde{P}$는 괜찮게 정의되었다. (1)-(4)가 모두 성립한다. (위의 예제와는 다르게 subadd 역시 성립함!!) 하지만 ${\cal A}$가 세미링이 아니어서 탈락.

Footnotes

그리고 애초에 $\Omega \notin {\cal A}$ 이므로, ${\cal A}$ 에서는 $m(\Omega)$의 값도 정의하지 않음.↩︎
(1)이랑 (4)는 너무 체크하기 쉬움↩︎

분류	\(m(\emptyset)=0\)	\(\sigma\)-add	\(A_i\uparrow \Omega\), \(m(A_i)<\infty\)	\(m(\Omega)<\infty\)	\(m(\Omega)=1\)	\(.\)	monotone	\(\sigma\)-subadd	conti-below	conti-above
msr	\(O\)	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(X\)	\(.\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(\Delta\)
\(\sigma\)-finite-msr	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(X\)	\(X\)	\(.\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(\Delta\)
finite-msr	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(X\)	\(.\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)
prob-msr	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(.\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)	\(O\)

	\(m_1\)	\(m_2\)
\(\{a\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(\emptyset\)	\(0\)	\(0\)
\(\{b\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)
\(\Omega\)	\(1\)	\(\frac{3}{2}\)

	\(m_1\)	\(m_2\)
\(\{a\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\Omega\)	\(\frac{3}{2}\)	\(\frac{3}{2}\)
\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(\emptyset\)	\(0\)	\(0\)
\(\{b\}\)	\(1\)	\(1\)

	\(m_1\)	\(m_2\)
\(\{a\}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(\Omega\)	\(\infty\)	\(\infty\)
\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(\emptyset\)	\(0\)	\(0\)
\(\{b\}\)	\(1\)	\(\infty\)
\(\{c\}\)	\(\infty\)	\(5\)
\(\{a,b\}\)	\(\frac{3}{2}\)	\(\infty\)
\(\{a,c\}\)	\(\infty\)	\(\frac{11}{2}\)
\(\{b,c\}\)	\(\infty\)	\(\infty\)

	\(P_1\)	\(\tilde{P}_1\)
\(\emptyset\)	\(0\)	\(0\)
\(\{1\}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{3}\)
\(\{2\}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{3}\)
\(\{3,4\}\)	\(\frac{1}{3}\)	\(\frac{1}{3}\)
\(\Omega\)	\(1\)	\(1\)
\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(\{1,2\}\)	\(\frac{2}{3}\)	None
\(\{1,3,4\}\)	\(\frac{2}{3}\)	None
\(\{2,3,4\}\)	\(\frac{2}{3}\)	None

7wk: 측도론 (3)

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헷갈리는 표현: \(\infty\)의 포함

메져의 종류와 성질

파이시스템에서의 확장이론 (메져버전)

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