Expectation Maximization

import random

동전 던지기

어떤 동전인지 알 때 Expactation

어떤 동전에서 어떤 면이 나올 기댓값을 직접 구할 수 있다.

1: 앞 면
2: 뒷 면

A 동전

N = 80
outcomes = []
for i in range(N):
    outcome = random.choice([1, 2])
    outcomes.append(outcome)
num_of_ones = outcomes.count(1)
probability_of_one = num_of_ones / N
print("Number of ones:", num_of_ones)
print("Probability of one:", probability_of_one)

Number of ones: 37
Probability of one: 0.4625

B 동전

N = 80
outcomes = []
for i in range(N):
    outcome = random.choice([1, 2])
    outcomes.append(outcome)
num_of_ones = outcomes.count(1)
probability_of_one = num_of_ones / N
print("Number of ones:", num_of_ones)
print("Probability of one:", probability_of_one)

Number of ones: 45
Probability of one: 0.5625

어떤 동전인지 모를 때 Expactation

값이 어떤 동전에서 나오는지 모르는 경우

10번 시도한 1 sequence: 앞/뒤/앞/뒤/뒤/앞/뒤/앞/앞/뒤
사용되는 동전의 수 = hidden variable/latent variable

임의의 초기값(랜덤 부여 가능)

\(\theta_A = 0.4\)
\(\theta_B = 0.3\)

E step

1 sequence에서 Hidden variable의 responsibility를 구한다.

A 동전

(0.4)**5*(0.6)**5

0.0007962624

B 동전

(0.3)**5*(0.7)**5

0.00040841009999999976

1 sequence에서 A 동전을 사용했을 비율(responsibility)

round(((0.4)**5*(0.6)**5)/((0.4)**5*(0.6)**5 + (0.3)**5*(0.7)**5),2)

0.66

1 sequence에서 B 동전을 사용했을 비율(responsibility)

round(((0.3)**5*(0.7)**5)/((0.4)**5*(0.6)**5 + (0.3)**5*(0.7)**5),2)

0.34

M step

1 sequence에서 A 동전 앞면

round((0.66)*5,2)

3.3

1 sequence에서 A 동전 뒷면

round((0.44)*5,2)

2.2

1 sequence에서 B 동전 앞면

round((0.34)*5,2)

1.7

1 sequence에서 B 동전 뒷면

round((0.66)*5,2)

3.3

\(\dots\)

이런 식으로 모든 sequence의 동전의 앞 뒷명면의 reponsibility를 사용하여 probability를 계산한다.

Update

\(\hat{\theta}^{(1)}_A \sim \frac{14}{14+16} \sim 0.47\)

\(\hat{\theta}^{(1)}_B \sim \frac{14}{14+16} \sim 0.38\)

…E/M step and Update Repeat

Local maximum으로 답 찾을 수 있음.